|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Exponentile groei
Beste
Voor welke waarden van p is matrix A inverteerbaar?
A =
1 0 4
-2 p 2
4 0 p^2
en bepaal de inverse m.b.v. de adjunctmatrix.
Antwoord
Beste,
$
\begin{array}{l}
A = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
1 & 0 & 4 \\
{ - 2} & p & 2 \\
4 & 0 & {p^2 } \\
\end{array}} \right] \\
\det (A) = p(p^2 - 16) \\
\det (A) = 0 \Rightarrow p = 0\;p = 4\;p = - 4 \\
\end{array}
$
Deze waarde mag P dus NIET aannemen en alle andere wel.
$
\begin{array}{l}
A^{ - 1} = \frac{1}{{\det (A)}}adj(A) \\
adj(A) = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
{p^3 } & {2p^2 + 8} & { - 4p} \\
0 & {p^2 - 16} & 0 \\
{ - 4p} & { - 10} & p \\
\end{array}} \right]^T = \\
\left[ {\begin{array}{*{20}c}
{p^3 } & 0 & { - 4p} \\
{2p^2 + 8} & {p^2 - 16} & { - 10} \\
{ - 4p} & 0 & p \\
\end{array}} \right] \Rightarrow A^{ - 1} = \frac{1}{{p(p^2 - 16)}}\left[ {\begin{array}{*{20}c}
{p^3 } & 0 & { - 4p} \\
{2p^2 + 8} & {p^2 - 16} & { - 10} \\
{ - 4p} & 0 & p \\
\end{array}} \right] \\
\end{array}
$
Maar de moeilijkheid is misschien het vinden van deze adj(A).
Welnu die vinden we als volgt:
$
\begin{array}{l}
A = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
{\left( 1 \right)} & 0 & {} \\
{} & p & 2 \\
{} & 0 & {p^2 } \\
\end{array}} \right] \to cof(1) = p^3 - 2.0 = p^3 \\
A = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
{} & {\left( 0 \right)} & {} \\
{ - 2} & {} & 2 \\
4 & {} & {p^2 } \\
\end{array}} \right] \to cof(0) = - ( - 2p^2 - 8) = 2p^2 + 8 \\
\end{array}
$
Kortom we nemen een getal uit Matrix A en vervangen die door zijn cofactor.
( let hierbij op de minnetjes en plusjes) Zo vormen we een nieuwe matrix.
Welnu de transpose van deze nieuwe matrix is dan adj(A)
mvg DvL
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
